满足条件的正三角形ABC如下图所示：
其中正三角形ABC的面积S_三角形=

3

4

×4=

3

满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示
则S_阴影=

1

2

π
则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是
P=

S阴影

S三角形

=

1 2 π

3

=

3 π

6

故答案为：

3 π

6

．