（1）∵△BDG与四边形ACDG的周长相等，
∴BD+BG+DG=AC+CD+DG+AG，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴BG=AC+AG，
∵BG+（AC+AG）=AB+AC，
∴BG=

1

2

（AB+AC）=

1

2

（b+c）；
（2）证明：∵点D、F分别是BC、AB的中点，
∴DF=

1

2

AC=

1

2

b，BF=

1

2

AB=

1

2

c，
又∵FG=BG-BF=

1

2

（b+c）-

1

2

c=

1

2

b，
∴DF=FG，
∴∠FDG=∠FGD，
∵点D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠EDG=∠FGD，
∴∠FDG=∠EDG，
即DG平分∠EDF；
（3）证明：∵△BDG与△DFG相似，∠DFG>∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），
∴∠B=∠FDG，
由（2）得：∠FGD=∠FDG，
∴∠FGD=∠B，
∴DG=BD，
∵BD=CD，
∴DG=BD=CD，
∴B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，
∴∠BGC=90°，
即BG⊥CG．