已知a,b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底,求证a*b＞b*a?（*是a的b次幂的意思）看到答案·但是为什么要设成f(x_数学解答

已知a,b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底,求证a*b＞b*a?（*是a的b次幂的意思）
看到答案·但是为什么要设成f(x)=x ln a -a ln 即 b ln a >a ln b.
所以 a^b>b^a也不明白·

人气：262 ℃　时间：2020-05-13 05:33:31

解答

证明：构造函数f(x)=x㏑a-a㏑x.(x≥a＞e).求导得f'(x)=(㏑a)-(a/x).∵x≥a＞e.∴㏑a＞㏑e=1.且1≥a/x＞0.===>f'(x)=(㏑a)-(a/x)＞0.∴函数f(x)在[a,+∞)上递增,故当b＞a时,f(b)＞f(a).===>b㏑a-a㏑b＞a㏑a-a㏑a=0.===>b㏑a＞a㏑b.===>㏑(a^b)＞㏑(b^a).===>a^b＞b^a.证毕.