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数学
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证明,f(x)=√(x²+1)-x在区间(-无穷大,0]上是减函数,在[0,+无穷大)上也是减函数,
人气:498 ℃ 时间:2019-10-23 06:15:06
解答
f(x)=√(x²+1)-x
f'(x)=x/√(x²+1)-1
令f'(x)≤0,即:x/√(x²+1)-1≤0
整理,有:[x-√(x²+1)]/√(x²+1)≤0
因为:恒有√(x²+1)>0
所以:x-√(x²+1)≤0
因为:x^2<x^2+1
所以:恒有x<√(x²+1)
即:无论x取何值,恒有:x-√(x²+1)≤0
因此:函数f(x)的减区间是:x∈(-∞,∞).
即:当x∈(-∞,0]及x∈[0,∞)时,f(x)都是减函数.
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