过A作AM⊥BC，交BC于M，交DE于N，如图所示：
∵四边形DEFG为正方形，
∴DE∥BC，DG=GF=FE=DE，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，AN⊥DE，
∴△ADE∽△ABC，
设DE=EF=FG=DG=x，
又△ABC为边长为2的等边三角形，AM⊥BC，
∴M为BC的中点，即BM=CM=

1

2

BC=1，
在Rt△ABM中，根据勾股定理得：AM=

AB2-BM2

=

3

2

，
∴

DE

BC

=

AN

AM

，即

x

2

=

3 2 -x

3 2

，
解得：x=4

3

-6，
则正方形的边长为4

3

-4．
故答案为：4

3

-6．