方程m²-2mn+14n²=217，可化为：（m-n）²+13n²=217，
则可得（m-n）²≥0，n²≤

217

13

≈16.7，
∴n可取0，1，2，3，4，
①当n=0时，m²=217，217不是完全平方数，不符合题意；
②当n=1时，（m-1）²=204，204不是完全平方数，不符合题意；
③当n=2时，（m-2）²=165，165不是完全平方数，不符合题意；
④当n=3时，（m-3）²=100，100是完全平方数，此时m=13；
⑤当n=4时，（m-4）²=9，9是完全平方数，此时m=1；
综上可得方程m²-2mn+14n²=217的自然数解为：

n1＝3 m2＝13

，

n2＝4 m2＝1

．