直白的说：
向量的一种范数就理解成在某种度量下的长度,比如欧式空间,二范数：||x||_2=sqrt(sum(x_i^2)). 
矩阵范数,通常是把矩阵拉长成一列,做向量范数.e.g 矩阵的F范数就是拉成向量之后的二范数.
算子范数,算子A(有穷维中的矩阵A),作用在向量x上（乘法）,
||A||:=max(||Ax||),s.t.||x||=1.


至于作用,就是方便给一个抽象的空间（比如连续函数空间,函数就是一个“点”）引入极限、收敛等分析的性质,像矩阵核范数在矩阵compressed sensing里就挺重要~