1 .现在分词作状语时,现在分词的动作就是句子主语的动作,它们之间的关系是主动关系.
就像你这个句子,invite的动作是my cousin发出的.明显是主动关系.所以用inviting可以.
2.不定式也可以做状语,我想你想的是to invite在这里做目的状语,表示发信的目的.但是：
不定式做状语时,其逻辑主语一般为句子的主语,否则用for引导主语.
语法是可以.但是从句意来看,明显B更好.
如果是C,那么意思是：上个星期天我的堂兄为了邀请我去他的生日宴会给我发了一封电子邮件.（目的）
如果是B,那么意思是：上个星期天我的堂兄给我发了一封电子邮件邀请我去他的生日宴会.（伴随）
选择题,当然选最合适的.那他们讲“to do 表目的，只能是将来时吗？” 是吗？不一定，没听过。你这句话很明显是表示邮件内容是邀请去参加宴会（生活常识），所以我觉得用伴随状语更合适。语感不好很容易选成C。