已知椭圆x^2+y^2/b^2=1的左焦点为F,左,右顶点分别为A,C,上顶点为B,过点F,B,C作圆P,其中圆心P的坐标为(m,n)(1)当m+n>0时,求椭圆离心率的范围(2)直线AB与圆P能否相切?证明你的结论
人气:204 ℃ 时间:2019-08-17 18:25:00
解答
设F、B、C的坐标分别为(-c,0),(0,b),(1,0),则FC、BC的中垂线分别为
x=(1-c)/2,y-(b/2)=(x-1/2)/b
联立方程组,解出x=(1-c)/2,y=(b²-c)/2b
m+n=(1-c)/2+(b²-c)/2b>0,即b-bc+b²-c>0,即(1+b)(b-c)>0,
∴ b>c.
从而b²>c²即有a²>2c²,∴e²0,∴0<e<√2/2.
(2)直线AB与⊙P不能相切.
由kAB=b,kPB=[b-(b²-c)/2b]/[0-(1-c)/2]=(b²+c)/b(c-1).
如果直线AB与⊙P相切,则b(b²+c)/b(c-1)=-1.
解出c=0或2,与0<c<1矛盾,
所以直线AB与⊙P不能相切.
不懂追问
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