∵a+2b+3c=6，
∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）²=（1×a+1×2b+1×3c）²≤（1²+1²+1²）[a²+（2b）²+（3c）²]
化简得6²≤3（a²+4b²+9c²），即36≤3（a²+4b²+9c²）
∴a²+4b²+9c²≥12，
当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=

2

3

时等号成立
由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=

2

3

时，a²+4b²+9c²的最小值为12
故答案为：12