（1）证明：∵DE⊥EC，
∴∠DEC=90°．
∴∠AED+∠BEC=90°
又∵∠A=∠B=90°
∴∠AED+∠EDA=90°．
∴∠BEC=∠EDA．∴△ADE∽△BEC．
（2）证明：如图，过点E作EF∥BC，交CD于点F，
∵E是AB的中点，根据平行线等分线段定理，得F为CD的中点，
∴EF＝

1

2

(AD+BC)．
在Rt△DEC中，∵DF=CF，
∴EF＝

1

2

CD．
∴

1

2

(AD+BC)=

1

2

CD．
∴AD+BC=CD．
（3）△AED的周长=AE+AD+DE=a+m，BE=a-m．
设AD=x，则DE=a-x．
∵∠A=90°，
∴DE²=AE²+AD²．
即a²-2ax+x²=m²+x²．
∴x＝

a2−m2

2a

．
由（1）知△ADE∽△BEC，
∴

△ADE的周长

△BEC的周长

=

AD

BE

=

a2−m2 2a

a−m

=

a+m

2a

．
∵C△ADE=a+m，
∴C△BEC=2a，
∴无影响．（8分）