设N为取值非负整数的随机变量,证明EN= Σ(n从1到∞)P(N≥n)= Σ(n从0到∞)P(N>n)_其他解答

设N为取值非负整数的随机变量,证明
EN= Σ(n从1到∞)P(N≥n)= Σ(n从0到∞)P(N>n)

人气：144 ℃　时间：2020-04-24 04:08:42

解答

注意到P(N=n)=P(N>=n)-P(N>=n+1),整个推导就很容易
E(N)= Σ(n从0到∞)nP(N=n)= Σ(n从0到∞)n[P(N>=n)-P(N>=n+1)]
=Σ(n从0到∞)[P(N>=n)-Σ(n从0到∞)nP(N>=n+1).然后呢？Σ(n从0到∞)nP(N>=n)-Σ(n从0到∞)nP(N>=n+1) =Σ(n从1到∞)nP(N>=n)-Σ(n从1到∞)(n-1)P(N>=n) =Σ(n从1到∞)P(N>=n) =Σ(n从0到∞)P(N>n)