（Ⅰ）f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
∴f(

π

12

)=

2

sin(

π

12

+

π

4

)=

2

sin

π

3

=

6

2

；
（Ⅱ）g（x）=cosx-sinx．
下面给出证明：
∵g（x）f（x）=（cosx-sinx）（sinx+cosx）=cos²x-sin²x=cos2x，
∴g（x）=cosx-sinx符合要求．
又∵g（x）=cosx-sinx=

2

cos(x+

π

4

)，
由2kπ+π<x+

π

4

<2kπ+2π，得2kπ+

3π

4

<x<2kπ+

7π

4

，
∴g（x）的单调递增区间为(2kπ+

3π

4

，2kπ+

7π

4

)，k∈Z．
又由2kπ<x+

π

4

<2kπ+π，得2kπ-

π

4

<x<2kπ+

3π

4

，
∴g（x）的单调递减区间为(2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

)，k∈Z．