A、∵函数y=

6

x

中k=6＞0，∴此函数图象的两个分支分别在一、三象限，故本选项正确；
B、∵函数y=

6

x

是反比例函数，∴它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；
C、∵当x＞0时，函数的图象在第一象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项错误；
D、∵当x＜0时，函数的图象在第三象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项正确．
故选C．