这其实很好算.
设宇航员相对地面的速度是v,
令γ=1/√(1-β^2)；β=v/c
依据你的意思,整个问题是建立在狭义相对论的框架下.设宇航员为S'系,地面为S系；S系测得A,B距离为L,S’系测得A,B距离为L'
由Lorentz变换有：
x'=γ(x-vt)
t'=γ(t-vx/c^2)
设A,B两点发射信号的事件,在S系中的时空位置分别为A（x1,y1,z1,t1）；B（x2,y2,z2,t2）；
A,B两点发射信号的事件,在S’系中的时空位置分别为A（x1',y1',z1',t1'）；
B（x2',y2',z2',t2'）；
由题设的条件就有S系（地面观测者）测得：
t1-t2=2*10^-6；x1-x2=1000
S’系(宇航员)测得：
t1'-t2'=0
再依据Lorentz变换就有：
x1'=γ(x1-vt*1)； x2'=γ(x2-v*t2)
t1'=γ(t1-v*x1/c^2)； t2'=γ(t2-v*x1/c^2)
用上面的时间的式子相减得：
t1'-t2'=γ[(t1-t2)-v/c^2*(x1-x2)]
由于γ≠0；t1-t2=2*10^-6；x1-x2=1000；
t1'-t2'=0
带入即可解得v=1.798*10^8m/s≈0.6c
在算S'系下测得的A,B的距离就很简单了：
L=1000
L'=L/γ=0.8L=800