已知α+β=1，αβ=-1．设S1=α+β，S2=α2+β2，S3=α3+β3，…，Sn=αn+βn
（1）计算：S1=______，S2=______，S3=______，S4=______；
（2）试写出Sn-2、Sn-1、Sn三者之间的关系；
（3）根据以上得出结论计算：α7+β7．
人气：112 ℃ 时间：2020-03-31 20:05:55
解答
（1）∵α+β=1，αβ=-1．
∴S
1=α+β=1．
S
2=α
2+β
2=（α+β）
2-2αβ=1+2=3．
S
3=α
3+β
3=（α+β）（α
2-αβ+β
2）=（α+β）
2-3αβ=1+3=4．
S
4=α
4+β
4=（α
2+β
2）
2-2α
2β
2=9-2=7．
故答案为：1，3，4，7；
（2）由（1）得：S
n=S
n-1+S
n-2．
证明：∵α，β是方程x
2-x-1=0的两根，
∴有：α
2=α+1，β
2=β+1，
S
n-1+S
n-2=α
n-1+β
n-1+α
n-2+β
n-2=
+
+
+
=
+
=α
n+β
n=S
n．
故S
n=S
n-1+S
n-2．
（3）由（2）有：
α
7+β
7=S
7=S
6+S
5=S
5+S
4+S
4+S
3=S
4+S
3+2S
4+S
3=3S
4+2S
3=3×7+2×4
=29．
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