∵15=5×3
∴1234A既要能被5整除，也要能被3整除，
如果这个数能被5整除，A须是0或5；
①若A=0时，1+2+3+4+0=10，它不能被3整除；
②若A=5时，1+2+3+4+5=15，它能被3整除；
∴A=5．
故答案为：5．