设x₁、x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，得
f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂-

1

x2

）
=（x₁-x₂）+（

1

x1

-

1

x2

）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）
∵x₁＞1，x₂＞1
∴x₁x₂＞1，得

1

x1x2

∈（0，1），1-

1

x1x2

＞0
又∵x₁＜x₂，得x₁-x₂＜0
∴（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）＜0，可得f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
综上所述，可得：函数f（x）=x+

1

x

在（1，+∞）上是增函数．