观察下列勾股数组：a,b,c；3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41；...；21,b,c；①用含n的代数式表_数学解答

观察下列勾股数组：a,b,c；3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41；...；21,b,c；
①用含n的代数式表达出以上的规律（n≥1）,并证明你的结论.
②当a=21时,求b,c的值

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解答

当a=2n+1时通过观察知c-b=1,
∵（2n+1）2+b2=c2,
∴c2-b2=（2n+1）2,
（b+c）（c-b）=（2n+1）2,∴b+c=（2n+1）2,
又c=b+1,
∴2b+1=（2n+1）2,
∴b=2n2+2n,c=2n2+2n+1