任意3个数的和是3的倍数,则它们必是同一类的.可以都是形如3k,3k+1,3k+2一类中的数.
同样,任意4个数的和是4的倍数,则它们必是同一类的.可以都是形如4k,4k+1,4k+2,4k+3一类中的数.
可以分别考虑各种情况：如这5个数都是3k和4k类型,则必是12k形式的数；如是这5个数是3k和4k+1,则必是12k+9形式的数；如这5个数是3k和4k+2形式的数,则必是12k+6形式的数；如这5个数是3k和4k+3形式的数,则必是12k+3形式的数；……
同样可以依次讨论其它各种情形,可发现这5个数都是同一类型的数,具有12k+m(m=0,1,2,…,11)都符合要求.
如果你所说的自然数包含0的话,那么和最小时应为12k形式的数0,12,24,36,48.如果你所说的自然数不包含0的话,那么和最小时应为12k+1形式的数1,13,25,37,49.