已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．数列{an_数学解答

已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．数列{a_n}满足a_n=f（2ⁿ）（n∈N^*），且a₁=2．则数列的通项公式a_n=______．

人气：425 ℃　时间：2020-03-29 22:23:26

解答

由于a_n=f（2ⁿ）则a_n+1=f（2ⁿ⁺¹）且a₁=2=f（2）
∵对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）
∴令x=2ⁿ，y=2则f（2ⁿ⁺¹）=2ⁿf（2）+2f（2ⁿ）
∴a_n+1=2a_n+2×2ⁿ
∴

an+1

2n+1

−

＝1
∴数列{

}是以

＝1为首项公差为1的等差数列
∴

＝1+ (n−1)×1＝n
∴a_n=n2ⁿ