设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,
当x=0时,y=-2,
∴点A的坐标是（0,-2）,
∵正方形的边长2,
∴B的坐标（2,-2）,把A（0,-2）,B（2,-2）,D（4,- ）代入得：
且 ,
解得a= ,b=- ,c=-2
∴抛物线的解析式为：,
答：抛物线的解析式为：．
①由图象知：PB=2-2t,BQ=t,
∴S=PQ2=PB2+BQ2,
=（2-2t）2+t2,
即S=5t2-8t+4（0≤t≤1）．
答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2-8t+4,t的取值范围是0≤t≤1．
假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t2-8t+4（0≤t≤1）,
∴当S= 时,5t2-8t+4= ,得20t2-32t+11=0,
解得t= ,t= （不合题意,舍去）,
此时点P的坐标为（1,-2）,Q点的坐标为（2,- ）
若R点存在,分情况讨论：
【A】假设R在BQ的右边,这时QR=PB,RQ∥PB,则R的横坐标为3,R的纵坐标为- ,
即R（3,- ）,
代入 ,左右两边相等,
∴这时存在R（3,- ）满足题意；
【B】假设R在BQ的左边,这时PR=QB,PR∥QB,
则：R的横坐标为1,纵坐标为- ,
即（1,- ）,
代入 ,左右两边不相等,R不在抛物线上；
【C】假设R在PB的下方,这时PR=QB,PR∥QB,则：R（1,- ）代入,
左右不相等,
∴R不在抛物线上．（1分）
综上所述,存点一点R（3,- ）满足题意．
答：存在,R点的坐标是（3,- ）．
如图,M′B=M′A,
∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,
设直线BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐标代入得：,
解得：k= ,b=- ,
∴y= x- ,
抛物线 的对称轴是x=1,
把x=1代入得：y=-
∴M的坐标为（1,- ）；
答：M的坐标为（1,- ）．