两个环的交集是环不难证明（前提是它们上面的加法运算和乘法运算相同,且有同一个0元素和乘法单位元）,那么域也一样,用定义验证即可；至于并,直接给你举反例好了,全体首项系数为2^n的多项式组成一个环,首项系数为3^n...就写环的交为环好了。。。设R和S是两个环，有同样的加法运算和乘法运算，也有同样的0元素和乘法单位元1。。。设T=R∩S，对任意的a,b∈T，有a+b,a*b∈R，S,所以a+b,a*b∈R∩S=T（封闭性得证）；因为R，S均满足乘法结合律，所以对任意的a,b,c∈S∩R=T也满足结合律（结合律得证），同理加法交换和结合律也得证；考虑乘法单位元1，既然1同时存在于R、S，所以1∈T（单位元存在得证）；最后证明加法逆元-a存在——任取a∈T，则-a∈R且-a∈S，所以-a∈R∩S=T。
综上所述R∩S是一个环。