若a,b∈R,且2a+b=1,则S=2√(ab)-4a²-b²的最大值为?
解析：要求S=2√(ab)-4a²-b²,那么√ab中的ab就必须同号,要么都是正,要么都是负,又由于2a+b=1,所以a、b就只能同为正数了.
____于是多次运用：a+b≥2√(ab),a、b∈R+,
当且仅当a=b时,a+b=2√(ab)；
____由2a+b=1,可知：2a+b≥2√(2ab),
即1≥2√(2ab),所以2√(ab)≤√2/2；——(1)
所以ab≤1/8；——(2)
____由2a+b=1,可知：(2a+b)^2=1,
即2a^2+b^2+4ab=1,2a^2+b^2=1-4ab,
由(2)知1-4ab≥1/2,
则2a^2+b^2≥1/2,则-(2a^2+b^2)≤-1/2——(3)
由(1)(3)可知：2√(ab)-(2a^2+b^2)≤(√2/2)-(1/2),
即：S≤(√2-1)/2,要取等号,就看(1)如何取等号,(1)中当且仅当2a=b时,不等式(1)取到等号,由2a+b=1可知：a=1/4,b=1/2.
____即：S≤(√2-1)/2