由余弦定理得
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
得到
(a²+c²-b²)/(b²+c²-a²)
=(2ac*cosB)/(2bc*cosA)
=a*cosB/(b*cosA)
=(a/b)*(cosB/cosA)
由正弦定理得
a/sinA=b/sinB
所以
a/b=sinA/sinB
结合上面两式得
(a²+c²-b²)/(b²+c²-a²)
=(sinA/sinB)/(cosB/cosA)
=tanA/tanB