证明：（1）当n=1时，左边=1²=1，右边=

1×2×3

6

＝1，等式成立．（4分）
（2）假设当n=k时，等式成立，即12+22+32+…+k2＝

k(k+1)(2k+1)

6

（6分）
那么，当n=k+1时，

12+22+32+…+k2+(k+1)2 ＝ k(k+1)(2k+1) 6 +(k+1)2 ＝ k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2 6 ＝ (k+1)(2k2+7k+6) 6 ＝ (k+1)(k+2)(2k+3) 6 ＝ (k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1] 6

这就是说，当n=k+1时等式也成立．（10分）
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N^*都成立．（12分）