已知A1 A2 A3是抛物线y=1/2x^2上的3点A1B1,A2B2,A3B3,分别垂直于x轴,垂足为B1 ,B2 ,B3 ,直_数学解答

已知A1 A2 A3是抛物线y=1/2x^2上的3点A1B1,A2B2,A3B3,分别垂直于x轴,垂足为B1 ,B2 ,B3 ,直线A2B2 交线段A1A3于点C.
（1）如图若A1,A2,A3,三点的横坐标依次是1,2,3,求线段CA2的长.
（2）如图若将抛物线y=1/2x^2改为抛物线y=1/2x^2—X+1,A1 A2 A3,三点的横坐标我连续整数,其他条件不变,求线段CA2的长.

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解答

(1)
A1B1=(1/2)*（1^2）=1/2
A2B2=(1/2)*(2^2)=2
A3B3=(1/2)*(3^2)=9/2
根据中位线的性质得：
CB2=(A1B1+A3B3)/2
=(1/2+9/2)/2
=5/2
CA2=CB2-A2B2
=5/2-2
=1/2
(2)假设A1的横坐标为x,则A2、A3的横坐标分别为x+1,x+2;
A1B1=(1/2)*(x^2)-x+1
A2B2=(1/2)*[(x+1)^2]-(x+1)+1
A3B3=(1/2)*[(x+2)^2]-(x+2)+1
根据中位线的性质得：
CB2=(A1B1+A3B3)/2
={(1/2)*(x^2)-x+1+(1/2)*[(x+2)^2]-(x+2)+1}/2
=(x^2+2)/2
=(1/2)*x^2+1
CA2=CB2-A2B2
=(1/2)*x^2+1-{(1/2)*[(x+1)^2]-(x+1)+1}
=(1/2)*x^2+1-(1/2)*(x^2+1)
=1/2