证明：①n=1时，左边=2，右边=2，等式成立；
②假设n=k时，结论成立，即：（k+1）+（k+2）+…+（k+k）=

k(3k+1)

2

则n=k+1时，等式左边=（k+2）+（k+3）+…+（k+k+1）+（k+1+k+1）=

k(3k+1)

2

+3k+2=

(k+1)(3k+4)

2

故n=k+1时，等式成立
由①②可知：（n+1）+（n+2）+…+（n+n）=

n(3n+1)

2

（n∈N^*）成立