A、L₁灯丝断了，则整个电路中无电流，灯都不亮，电表无示数．符合题意．
B、L₁短路，则L₂中还有电流，L₂会变亮，电表有示数．不合题意．
C、L₂灯丝断了，则电压表与电路串联，电压表分担电源电压，有示数．灯L₁不亮，电流表无示数．不合题意．
D、L₂短路，则电压表也短路无示数．但L₁中还有电流，L ₁会变亮，电流表有示数．不合题意．
故选A．