所证式子的前半部分可由a^3+b^3+c^3>=3abc得到(将a,b,c分别换成三次根号a,b,c即可),以下用高中方法证明a^3+b^3+c^3>=3abc:
先证a^3+b^3>=ba^2+ab^2:
(a^3+b^3)-(ba^2+ab^2)=(a^3-ba^2)-(ab^2-b^3)
=(a-b)a^2-(a-b)b^2=(a^2-b^2)(a-b)=(a+b)(a-b)^2
因为a>0,b>0,易知上式大于等于零,故a^3+b^3>=ba^2+ab^2成立.
同理可得b^3+c^3>=bc^2+cb^2,a^3+c^3>=ca^2+ac^2,三式相加得
2(a^3+b^3+c^3)>=(ba^2+bc^2)+(ab^2+ac^2)+(cb^2+ca^2)
=b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(a^2+b^2)
>=b*2ac+a*2bc+c*2ab=6abc
所以a^3+b^3+c^3>=3abc(当且仅当a=b=c时取等号)
后半部分证明则利用前半部分的结论:
易知yz+xz+xy>=3*[(xyz)^2的立方根],则
3*[(xyz)^2的立方根]/(yz+xz+xy)<=1,等式两边同乘以(xyz)的立方根,得
3xyz/(yz+xz+xy)<=(xyz)的立方根
不等式左边上下同除以xyz,得
3*1/(1/x+1/y+1/z)<=(xyz)的立方根
即[(xyz)的立方根]>=3*1/(1/x+1/y+1/z）
所以后半部分得证.