一个不等式证明题设b〉a〉0,证2a/(a^2+b^2) ≤(lnb-lna)/(b-a) ,要用微分中值定理_数学解答

一个不等式证明题
设b〉a〉0,证2a/(a^2+b^2) ≤(lnb-lna)/(b-a) ,要用微分中值定理

人气：135 ℃　时间：2020-05-12 18:01:15

解答

证明：f(x)=lnx在[a,b]连续,且在(a,b)可导,
由拉格朗日中值定理可知,存在一点ξ(a<ξf'(ξ)=1/ξ=(arctanb-arctana)/(b-a)
又根据均值不等式
(a^2+b^2)/2a=(a+b^2/a)/2≥√(a*b^2/a)=b
∴ξ∴1/ξ=(arctanb-arctana)/(b-a)>2a/(a^2+b^2)
命题得证