在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且acos²(C/2)+ccos²(A/2)=3/2b,求证_数学解答

在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且acos²(C/2)+ccos²(A/2)=3/2b,求证:B≤π/3

人气：297 ℃　时间：2020-01-27 04:31:35

解答

正弦定理得
sinA[(1+cosC)/2]+sinc[(1+cosA)/2]=(3/2)sinB
sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB
sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB
sinA+sinC=2sinB
再次正弦定理
a+c=2b
cosB=(a²+c²-b²)/2ac
=[a²+c²-(a+c)²/4]/2ac
=(3/8)[(a²+c²)/ac]-(1/4)【前面式子可利用均值不等式】
≥（3/4）-（1/4）
=1/2,于是B≤π/3