∵函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，
由f（x）=x²+bx求导得：f′（x）=2x+b，
由导函数得几何含义得：f′（1）=2+b=3⇒b=1，∴f（x）=x²+x
所以f（n）=n（n+1），∴数列 {

1

f(n)

}的通项为

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

−

1

n+1

，
所以

1

f(n)

的前n项的和即为T_n，
则利用裂项相消法可以得到：Tn＝(1−

1

2

)+(

1

2

−

1

3

)+(

1

3

+

1

4

)+…+(

1

n

−

1

n+1

)=1-

1

n+1

  
所以数列的前2009项的和为：T₂₀₀₉=1-

1

2010

=

2009

2010

．
故选B．