若圆X²+Y²+(a²-1)X+2aY-a=0关于直线X-Y+1=0对称,则实数a=
解: [x+(a²-1)/2]²+(y+a)²-(a²-1)²/4-a²-a=0
[x+(a²-1)/2]²+(y+a)²=(a⁴+2a²+4a+1)/4
该园关于直线x-y+1=0对称,其园心(-(a²-1)/2,-a)必在该直线上,故有:
-(a²-1)/2+a+1=0
a²-2a-3=(a-3)(a+1)=0,故a₁=3,a₂=-1.
由于将a₂=-1代入(a⁴+2a²+4a+1)/4=(1+2-4+1)/4=0,故应舍去.
将a₁=3代入(a⁴+2a²+4a+1)/4=(81+18+12+1)/4=112/4=28
此时园的方程为 (x+4)²+(y+3)²=28
园心(-4, -3)在直线x-y+1=0上.故此园一定关于该直线对称.