1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/2007*2008+1/2008*2009
=（1-1/2）+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+...+（1/2007-1/2008）+（1/2008-1/2009）
=1-1/2009
=2008/2009.