因为数列收敛,设,由定义,对于,存在正整数,
n>N时,都有 (n>N),从而有 .
取,则对一切的n,都有,所以数列有界.
根据定理2,如果数列无界,则数列一定是发散的.但必须注意：有界数列不一定收敛.例如,数列是有界的.因为,但它却是发散的(见例4).可见,数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件．