（1）∵△₁=（2k-1）²-4（k²-2k+

13

2

）=4k-25≥0，
∴k≥

25

4

，
∵△₂=（k+2）²-4（2k+

9

4

）≥0，
∴k²-4k-5≥0，（k-5）（k+1）≥0，
∴k≥5或k≤-1，
∴k≥

25

4

，
∴k的最小整数值为7；
（2）当方程①有实数根，k≥

25

4

，则方程②有实数根；
∵方程①和②中只有一个方程有实数根，
当方程②有实数根，方程①不一定实数根；
故答案为①；
（3）∵k为正整数，
且5≤k＜

25

4

，
∴k=5或6，
当k=5时，方程②变形为x²-7x+

49

4

=0，即（x-

7

2

）²=0，
∴x₁=x₂=

7

2

；
当k=6，方程②变形为x²-8x+

57

4

=0，
△=64-4×

57

4

=7，
∴x=

8± 7

2

∴x₁=

8+ 7

2

，x₂=

8− 7

2

．