∵四棱柱A₁B₁C₁D₁-ABCD是直棱柱，
∴B₁D₁⊥A₁A，若A₁C⊥B₁D₁
则B₁D₁⊥平面A₁AC₁C
∴B₁D₁⊥AC，
又由B₁D₁∥BD，
则有BD⊥AC，
反之，由BD⊥AC亦可得到A₁C⊥B₁D₁
故答案为：BD⊥AC．