设函数f(x)在区间(0 ,+∞)内具有二阶导数,满足f(0)=0,f"(x)＜0,又0＜a＜b,则当0bf(b). D xf(x_数学解答

设函数f(x)在区间(0 ,+∞)内具有二阶导数,满足f(0)=0,f"(x)＜0,又0＜a＜b,则
当0A af(x)>xf(a).B bf(x)>xf(b).C xf(x)>bf(b). D xf(x)>af(a).
答案是B 请给出四个选项的证明谢谢

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解答

考虑F=f(x)/x F'=(xf'(x)-f(x))/x^2
由泰勒公式：f(0)=f(x)+f'(x)(-x)+f''(a)(-x)^2/2