x→0
lim (e^x+x)^(1/x)
=lim e^ln (e^x+x)^(1/x)
=e^lim ln (e^x+x)^(1/x)
考虑
lim ln (e^x+x)^(1/x)
=lim ln(e^x+x) / x
=lim ln(1+e^x+x-1) / x
根据等价无穷小：ln(1+x)~x
=lim (e^x+x-1) / x
=lim (e^x-1)/x + lim x/x
=1+lim (e^x-1)/x
换元,t=e^x-1,x=ln(1+t)
=1+lim(t→0) t / ln(1+t)
=1+lim 1 / ln(1+t)^(1/t)
=1 + 1 / ln lim (1+t)^(1/t)
根据重要的极限,
=1 + 1 / lne
=1+1
=2
因此,原极限=e^2
有不懂欢迎追问有简单一点的做法吗这样的做法其实已经很简单了看起来好像很复杂，但是思想却是十分简单的简单一点的做法还是有的：x→0lim (e^x+x)^(1/x)=lim e^ln (e^x+x)^(1/x)=e^lim ln (e^x+x)^(1/x)考虑lim ln (e^x+x)^(1/x)=lim ln(e^x+x) / x 然后利用L'Hospital法则=lim [ln(e^x+x)]' / x'=lim (e^x+1) / (e^x+x)=(1+1) / (1+0)=2因此，原极限=e^2有不懂欢迎追问