首先是分析一下句子：
My mother made a promise that (if I passed the examination,she would buy me an MP4).
其中,B选项中的that是引导一个同位语从句,that后的句子修饰promise.if引导条件状语从句.
可以这么理我妈妈给我做了个承诺---什么承诺呢?---that引出来其内容（就是括号里的句子）.
翻译：我妈妈承诺（如果我考试通过的话,她就会给我买一个MP4）.