异面直线所成的角四面体A-BCD中,O、E分别是BD、BC的中点.CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=√2.（1）求证：AO⊥_其他解答

异面直线所成的角
四面体A-BCD中,O、E分别是BD、BC的中点.CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=√2.
（1）求证：AO⊥平面BCD.（已证）
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦.

人气：481 ℃　时间：2020-07-04 20:11:20

解答

取AC中点F,连EF,EO,FO.因为F是AC中点,所以FE平行AB,CD平行EO,异面直线AB与CD所成角就是EF与EO所成角.容易求得EF=根号2/2,EO=1.因为AO⊥平面BCD,
三角形ACO是直角三角形,F是斜边AC中点,所以OF=1/2*AC=1.
由余弦定理,cosFEO=(EF^2+EO^2-FO^2)/(2*EF*EO)=根号2/4,即异面直线AB与CD所成角的余弦为根号2/4