（1）∵二次函数y=-x²+2x+k+2与x轴的公共点有两个，
∴△=2²-4×（-1）（k+2）＞0，
解得 k＞-3；
（2）把k=1代入函数关系得到：y=-x²+2x+3，
则y=-（x-3）（x+1），
故抛物线与x轴的公共点A和B的坐标分别是（3，0）、（-1，0）．
又∵y═-x²+2x+3=-（x-1）²-4．
∴该抛物线顶点C的坐标是（1，4）；
（3）根据图象知，当-1＜x＜3时，y＞0．