由函数的解析式可得函数的定义域为{x|x＞0 且x≠1}，求得函数的导数f′（x）=

1

x

+

1

(x−1)2

 在它的定义域内为正实数，
故函数f（x）在区间（0，1），及（1，+∞）都是单调递增的，
再根据 f（

1

e2

）=-2-

1

1 e2 −1

=-2+

e2

e2−1

=-2+

(e2−1)+1

e2−1

=-1+

1

e2−1

＜0，f（

1

e

）=-1+

e

e−1

=-1+

(e−1)+1

e−1

=

1

e−1

＞0，
可得 f（

1

e2

）f（

1

e

）＜0，故函数f（x）在区间（

1

e2

 

1

e

）上有一个零点，故函数f（x）在区间（0，1）上有一个零点，故k=0满足条件．
再由 f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3-

1

2

＞0，f（2）f（3）＜0，可得函数在（2，3）上存在1个零点，故k=2满足条件．
故选 C．