（1）前n项的算术平均数应该是(a1+a2+a3+.+an)/n吧?你可以用n=1检验你自己的那个式子.
（2）如果按上述进行更正,设Sn=a1+a2+a3+.+an,即Sn为数列{an}的前n项和,
因此依题意,Sn/n=(2n-1)an.具体解法如下：
利用an=Sn-S[n-1]代入上式,整理化简后得出：Sn/S[n-1]=[n/(n-1)]*[(2n-1)/(2n+1)]
通过累乘法,左边最终得到Sn/S1,
右边n/(n-1)的累乘结果是n/1,(2n-1)/(2n+1)的累乘结果是3/(2n+1),
即累乘后左式Sn/S1=3n/(2n+1),由于a1=S1=1/3,所以Sn=n/(2n+1).
于是,S[n-1]=(n-1)/(2n-1),an=Sn-S[n-1]=n/(2n+1)-(n-1)/(2n-1)=1/(4n^2-1)
有了这么简单的通项,你写前10项都没问题了.前5项分别是1/3,1/15,1/35,1/63,1/99.