依题意对∀x∈R

3x2+2x+2

x2+x+1

＞ k恒成立
∴3x²+2x+2＞k（x²+x+1）
∴（k-3）x²+（k-2）x+k-2＜0
设函数y=（k-3）x²+（k-2）x+k-2，即y恒小于0
∴

k−3＜0 △＝(k−2)2−

4(k−3)(k−2)＜0
解得 k＜2  又k为正整数，
∴k=1
故答案为1．