（1）证明：（方法一）连接AC．
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于E，
由垂径定理得，点E是CD的中点；
又∵M是AD的中点，
∴ME是△DAC的中位线，
∴MN∥AC．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∴∠MNB=90°，即MN⊥BC；
（方法二）∵AB⊥CD，∴∠AED=∠BEC=90°．
M是AD的中点，
∴ME=AM，即有∠MEA=∠A．
∵∠MEA=∠BEN，∠C=∠A，
∴∠C=∠BEN．
又∵∠C+∠CBE=90°，
∴∠CBE+∠BEN=90°，
∴∠BNE=90°，即MN⊥BC；
（方法三）∵AB⊥CD，∴∠AED=90°．
由于M是AD的中点，
∴ME=MD，即有∠MED=∠EDM．
又∵∠CBE与∠EDA同对
 |
| AC |
∵∠MED=∠NEC，
∴∠NEC=∠CBE．
∵∠C+∠CBE=90°，
∴∠NEC+∠C=90°，
即有∠CNE=90°，即MN⊥BC．
（2）连接BD．
∵∠BCD与∠BAF同对
 |
| BD |
∴cos∠A=cos∠C=
| 4 |
| 5 |
∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°．
在Rt△ABF中，cos∠A=
| AB |
| AF |
| 4 |
| 5 |
设AB=4x，则AF=5x，由勾股定理得：BF=3x．
∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，
∴△ABF∽△BDF，
∴
| BF |
| AF |
| DF |
| BF |
即
| 3x |
| 5x |
| 3 |
| 3x |
x=
| 5 |
| 3 |
∴直径AB=4x=4×
| 5 |
| 3 |
| 20 |
| 3 |
则⊙O的半径为
| 10 |
| 3 |