这是我想的一个简单一点的证法：
1.先证正数的算术平均大于等于几何平均：
对(x1+x2+…+xn)/n,如果x1,x2,…,xn都相等,那么它们的算术平均等于它们的几何平均.
如果x1,x2,…,xn不全相等,那么肯定有一个xi>(x1+x2+…+xn)/n,有一个xj(x1+x2+…+xn)/n-xj,那么把xi换成xi'=xi+xj-(x1+x2+…+xn)/n,把xj换成
xj'=(x1+x2+…+xn)/n；
(2)若xi-(x1+x2+…+xn)/nxixj.事实上,令xi+xj=xi'+xj'=2t,xi-xj=2u,xi'-xj'=2v.显然,对情况(1)(2)(3)都有u>v,所以xi'xj'=(t+v)(t-v)=t^2-v^2>t^2-u^2=(t+u)(t-u)=xixj.
因此,每次操作后算术平均不变,几何平均增大.但是,有限次操作后x1,x2,…,xn都相等.此时,算术平均等于几何平均,而几何平均比原来的几何平均大,于是算术平均大于等于几何平均.
2.下证调和平均小于等于几何平均：
由1,(1/x1+1/x2+.1/xn)/n≥1/(x1x2…xn)^(1/n)
两边倒数,得：n/(1/x1+1/x2+.1/xn)≤(x1x2…xn)^(1/n)
证毕.
还有,楼上是错的,算术平均≥几何平均