f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,试证：存在ξ∈（0,1）,使f``(ξ)=2f`(ξ)/1-ξ.f(x)_数学解答

f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,试证：存在ξ∈（0,1）,使f``(ξ)=2f`(ξ)/1-ξ.
f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,试证：存在ξ∈（0,1）,使f``(ξ)=2f(ξ)/1-ξ.

人气：490 ℃　时间：2020-04-12 21:36:33

解答

由条件,存在η∈(0,1),满足f'(η)=0.
令G(x) = (1-x)²f'(x),则G(η) = G(1) = 0
所以,存在ξ∈(η,1),使G'(ξ)=0,即(1-ξ)²f''(ξ)-2(1-ξ)f'(ξ)=0
由于ξ<1,所以(1-ξ)f''(ξ)-2f'(ξ)=0,即f''(ξ)=2f'(ξ)/(1-ξ).