证明：∀x，t∈[a，b]，将f（x）在t处展开，可得
f(x)＝f(t)+f′(t)(x−t)+

f″(ξ)

2!

(x−t)2．
因为f″（x）＜0，所以有：
f（x）≤f（t）+f′（t）（x-t）．
令t＝

a+b

2

，则有
f(x)≤f(

a+b

2

)+f′(

a+b

2

)(x−

a+b

2

)．
将不等式两边从a到b积分可得，

∫

ba

f(x)dx≤

∫

ba

f(

a+b

2

)dx+

∫

ba

f′(

a+b

2

)(x−

a+b

2

)dx
=(b−a)f(

a+b

2

)+f′(

a+b

2

)[

1

2

(x−

a+b

2

)2]

|

ba

 
=(b−a)f(

a+b

2

)．